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2.5 Relative Lage von Objekten zueinander

2.5.1 Abstand zweier Punkte

Der Abstand d von zwei Punkten ist bei der Trassenberechnung eine oft benötigte Größe. Diese ist im kartesischen Koordinatensystem jedoch sehr einfach zu berechnen. Man verwendet dazu einfach den Satz des Pythagoras.

2.5.2 Lage zweier Kreise zueinander

2.5.2.1 Relative Lage

Für die Fallunterscheidung bei der Trassenberechnung mit Wendeklotoiden und Eilinien muss die relative Lage zweier Kreise zueinander berücksichtigt werden. Es gibt vier mögliche Fälle der relativen Lage von zwei Kreisen. Die relative Lage der Kreise zueinander ergibt sich aus den Radien und dem Abstand der Kreismittelpunkte.

Gegeben:

 
M1 (x1, y1) Koordinaten des Mittelpunktes von Kreis k1
R1 Radius des Kreises k1
M2 (x2, y2) Koordinaten des Mittelpunktes von Kreis k2
R2 Radius des Kreises k2
Gesucht:
 
 Relative Lage der Kreise zueinander
Man berechnet erst den Abstand der Mittelpunkte d zueinander. Dann führt man eine Fallunterscheidung durch. Nach dem auch negative Radien zugelassen wurden, muss bei obigen Algorithmus mit den Absolutwerten der Radien gerechnet werden.

2.5.2.2 Abstand der Kreislinien

Gegeben:
 
M1 (x1, y1) Koordinaten des Mittelpunktes von Kreis k1
R1 Radius des Kreises k1
M2 (x2, y2) Koordinaten des Mittelpunktes von Kreis k2
R2 Radius des Kreises k2
Gesucht:
 
 d  Abstand der Kreislinien
Es wird vorausgesetzt, dass ein Kreis vollkommen innerhalb des anderen liegt. Für die Berechnung von Eilinien muss der Abstand d der Kreislinien berechnet werden. Zu dessen Berechnung sind folgende Werte ausschlaggebend:
Es wird nun angenommen, dass R2 größer oder gleich R1 ist. Ist das nicht der Fall, so vertauscht man die Kreise, um die Annahme sicher zu stellen.
Der minimale Abstand d befindet sich zwischen auf der Geraden durch die Punkte M1 M2. In der Abbildung sieht man, daß sich die Strecke M2 P2 aus den Teilen M2 M1, M1 P1, P1 P2 zusammensetzt. Ihre Länge ist R2. Die Länge M1 M2 ist der Abstand a der Mittelpunkte und kann damit berechnet werden. Es fehlt nur noch die Strecke P1 P2. Dabei handelt es sich um den gesuchten Abstand d. Durch Umstellung nach d ergibt sich folgende Formel:
d = |R2| - a - |R1|

2.5.3 Lage eines Punktes relativ zur Strecke

2.5.3.1 Lage bzgl. der Strecke

Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Koordinaten eines Punktes auf der Bahnstrecke
a1 Richtungswinkel des Gleises in diesem Punkt
P (x, y) Koordinaten des zu betrachtenden Punktes P
Gesucht:
 
 relative Lage des Punktes P zur Strecke
Es wird wie immer nur die x-y-Ebene betrachtet.
Man verlängert die Strecke zu einer Geraden und unterscheidet folgende drei Fälle: Es ergibt sich folgender Algorithmus:
 
Ist der Abstand P1-P = 0, so liegt der Punkt auf der Geraden, die Berechnung ist beendet
Berechne den Winkel a, dieser ist der Richtungswinkel der Geraden durch P1 und P
Ist a = a1 oder a = (a1 + p) normiert auf [-p, p] ? 
 Ja
Nein 
Punkt P liegt auf der Geraden
(a1 - a) normiert auf [-p, p] < 0 ?
 Ja
Nein 
P ist in linker Halbebene P ist in rechter Halbebene

 

2.5.3.2 Lage bzgl. der Normalen zur Strecke

Neben der Lage bzgl. der Strecke ist auch die Lage bzgl. der Normalen zur Strecke von Bedeutung. Mit dessen Hilfe lässt sich eine Aussage darüber treffen, ob sich der Punkt noch vor oder schon hinter dem Betrachter befindet, wenn dieser von P1 aus entlang der Strecke blickt. Dieses Kriterium ist wichtig, um eine Aussage über eine Möglichkeit der Einrechnung treffen zu können.
Man berechnet dazu erst die Normale n zur Strecke und prüft dann die relative Lage von P zur Normalen. Liegt der Punkt rechts oder auf der Normalen, so liegt er noch im erreichbaren Bereich. Liegt er hingegen links der Normalen wie im Beispiel, so ist keine Einrechnung möglich.

2.5.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden

Gegeben:
 
P1 (x1, y1) Punkt auf der Geraden g
a1 Richtungswinkel der Geraden g
P (x, y) Koordinaten des zu betrachtenden Punktes P
Gesucht:
 
 d   Abstand des Punktes P von g
Der Algorithmus zur Berechnung des Abstandes ergibt sich aus den Formeln zu Geradengleichung in Normalform und dem Abstand des Punktes von einer Geraden§5.
Die Geradengleichung in HESSEscher Normalform lautet:
x * cosa + y * sina - p = 0
Man stellt diese Gleichung nach p um und setzt für x und y die Koordinaten von P1, für a a1 + p ein.
Die Distanz d ergibt sich folgendermaßen:
d = | x * cosa + y * sina - p |
Dabei sind x und y die Koordinaten von P.
Für den Fall, dass sich der Ursprung auf der Geraden g befindet, muß in obiger Formel p = 0 gesetzt werden, anstatt das Ergebnis aus der HESSEschen Normalform zu verwenden.
Die Betragsstriche sind nötig, für den Fall, dass P und der Ursprung auf der selben Seite von g liegen.
Bei dieser Konstellation liefert die Formel den negativen Abstand.

2.5.5 Lage eines Punktes relativ zu einem Kreis

Gegeben:
 
M (x1, y1) Koordinaten eines Kreismittelpunktes
r Radius des Kreises
P (x, y) Koordinaten des zu betrachtenden Punktes P
Gesucht:
 
 Relative Lage des Punktes P zum Kreis
Man unterscheidet bei der relativen Lage eines Punktes zu einem Kreis drei Fälle: Die Fallunterscheidung reduziert sich auf den Abstand d des Punktes P vom Kreismittelpunkt M und damit auf das Problem der Abstandsberechnung zwischen zwei Punkten.

2.5.6 Tangentenabrückung

2.5.6.1 Tangentenabrückung des Kreises


Gegeben:
 
M (x, y) Mittelpunkt des Kreises k
R Radius des Kreises
P1 (x1, y1) Punkt auf der Geraden g
a1 Richtungswinkel der Geraden g
Gesucht:
 
 DR Tangentenabrückung des Kreises
Zur Berechnung der Klotoide von g nach k muss die Tangentenabrückung DR berechnet werden. Diese ergibt sich wie folgt:
DR = d - |R|
d ist dabei der Abstand von M zu g
Dabei gilt es zu beachten, dass sich Gerade und Kreis nicht schneiden oder berühren dürfen. In diesem Fall gibt es keine Einrechnung der Klotoide.

2.5.6.2 Tangentenabrückung der Klotoide

Gegeben:
 
kl Geometrie-Element Klotoide
L Zurückgelegte Länge auf der Klotoide
Gesucht:
 
 DR Tangentenabrückung des Kreises
Ist nur die Klotoide gegeben, so berechnet man erst die Gleichung der Geraden g sowie den Kreismittelpunkt M. Mit diesen Daten lässt sich obiges Schema anwenden.
Eine Klotoide ist beim Durchgang durch den Ursprung gerade, also bei der Länge L = 0.
Zur Berechnung der x-y-Koordinaten von Punkten auf der Klotoide in Abhängigkeit von der Klotoidenlänge existieren bereits Programme, auf die ich zurückgreifen konnte.
Damit erhält man für die Länge L = 0 die Koordinaten von P1. Ebenso erhält man für die Länge L die Koordinaten von P. Der Richtungswinkel von g ist a1, also die Startrichtung der Klotoide. Der Richtungswinkel von t ist:
a1 + L / (2R)
Mit dem Richtungswinkel von t und R erhält man die Koordinaten von M.
Anhand dieser Daten lässt sich nun obiges Schema zur Berechnung von  DR anwenden.
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